최대공약수(GCD), 최소공배수(LCM) 구하기 유클리드 호제법 알고리즘 :: 코드자몽

최대공약수 GCD(Greatest Common Divisor)

최대공약수는 두 자연수의 공통된 약수 중 가장 큰 수를 의미한다.

ex) 72 와 30의 최대공약수는 6이다.

 

 

최소공배수 LCM(Least Common Multiple)

최소공배수는 두 자연수의 공통된 배수 중 가장 작은 수를 의미한다.

최소공배수 = 두 자연수의 곱 / 최대공약수

ex) 72 와 30의 최소공배수는 360이다.

 

 

유클리드 호제법(Euclidean Algorithm)

2개의 자연수를 받아 최대공약수를 받기 위해 2부터 두 자연수 중 작은 자연수까지 모두 나누어보면서 가장 큰 공약수를 구할 수 있다.

위와 같은 방법으로 문제를 풀면 시간복잡도는 O(N)이 된다. 나쁜 방법은 아니지만 효율을 높이기 위해 유클리드 호제법이란 알고리즘을 사용하면 시간복잡도를 O(logN)으로 줄일 수 있다.

 

정의

2개의 자연수  a, b에 대해서 a를 b로 나눈 나머지를 r이라 하면 (단 a>b), a와 b의 최대공약수는 b와 r의 최대공약수와 같다. 이 성질에 따라, b를 r로 나눈 나머지 r0를 구하고, 다시 r을 r0로 나눈 나머지를 구하는 과정을 반복하여 나머지가 0이 되었을 때 나누는 수가 a와 b의 최대공약수이다. 이는 명시적으로 기술된 가장 오래된 알고리즘으로서도 알려져 있으며, 기원전 300년경에 쓰인 유클리드의 <원론> 제7권, 명제 1부터 3까지에 해당한다.

: https://ko.wikipedia.org/wiki/%EC%9C%A0%ED%81%B4%EB%A6%AC%EB%93%9C_%ED%98%B8%EC%A0%9C%EB%B2%95

 

즉, 아래와 같은 수식으로 나타낼 수 있다.

 

예시

72와 30의 최소공배수를 유클리드 호제법을 이용해 구하는 방법을 표로 확인해보자

SEQ	GCD(A,B)	A	B	A%B
1	GCD(72,30)	72	30	12
2	GCD(30,12)	30	12	6
3	GCD(12,6)	12	6	0

 

 

유클리드 호제법에 의하여 해당 순서대로  A%B가 0이되는 순간 B의 값 6이 최소공배수가 된다.

 

 

백준 2609문제 최대공약수와 최소공배수

https://www.acmicpc.net/problem/2609

 

 

풀이

유클리드 호제법을 재귀함수로 만들어 최대공약수와 최소공배수를 구한다.

 

 Java

import java.util.Scanner;

public class Main{
    public static int gcd(int num1, int num2){
        if(num2 == 0) return num1;
        else return gcd(num2, num1 % num2);
    }
    
    public static void main(String[] args){
        Scanner sc = new Scanner(System.in);
        int num1 = sc.nextInt(), num2 = sc.nextInt();
        int gcd = gcd(num1, num2);
        System.out.println(gcd);
        System.out.println(num1 * num2 / gcd);
    }
}